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Análisis Matemático 66

2024 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Aplicaciones de la Integral

6.18. Graficar las regiones determinadas en cada ítem y calcular su área.
b) $B=\left\{x^{2} \leq y \leq x\right\}$

Respuesta

En este problema, tenemos dos funciones involucradas: $f(x) = x$ y $g(x) = x^2$ No tenemos límites de integración impuestos, así que necesitamos identificar los puntos de intersección para usarlos como límites de integración. Arrancamos: 1) Buscamos los puntos de intersección entre $f$ y $g$ Igualamos $f(x)$ y $g(x)$: $x = x^2$ $x^2 - x = 0$ $x(x - 1) = 0$ Las soluciones son $x = 0$ y $x = 1$ Esto significa que $f$ y $g$ se intersecan en los puntos $x = 0$ y $x = 1$. 2) Nos fijamos quién es techo y quién es piso En el intervalo $(0, 1)$, evaluamos $f$ y $g$ para determinar cuál es el "techo" y cuál es el "piso": En este caso $f(x)$ es el techo y $g(x)$ es el piso, ya que $f(x) > g(x)$ para cualquier $x$ que elijas en el intervalo $(0, 1)$.

De hecho, esto coincide con lo que nos dice el enunciado: $x^{2} \leq y \leq x$ 
3) Planteamos la integral del área $A(x) = \int_{0}^{1} (f(x) - g(x)) \,dx = \int_{0}^{1} (x - x^2) \,dx$ 4) Calculamos la integral: $\int_{0}^{1} (x - x^2) \,dx = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ Por lo tanto, el área encerrada es $\frac{1}{6}$
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