Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 CABANA

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰


Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Aplicaciones de la Integral

6.18. Graficar las regiones determinadas en cada ítem y calcular su área.
b) B={x2yx}B=\left\{x^{2} \leq y \leq x\right\}

Respuesta

En este problema, tenemos dos funciones involucradas: f(x)=xf(x) = x y g(x)=x2g(x) = x^2 No tenemos límites de integración impuestos, así que necesitamos identificar los puntos de intersección para usarlos como límites de integración. Arrancamos: 1) Buscamos los puntos de intersección entre ff y gg Igualamos f(x)f(x) y g(x)g(x): x=x2x = x^2 x2x=0x^2 - x = 0 x(x1)=0x(x - 1) = 0 Las soluciones son x=0x = 0 y x=1x = 1 Esto significa que ff y gg se intersecan en los puntos x=0x = 0 y x=1x = 1. 2) Nos fijamos quién es techo y quién es piso En el intervalo (0,1)(0, 1), evaluamos ff y gg para determinar cuál es el "techo" y cuál es el "piso": En este caso f(x)f(x) es el techo y g(x)g(x) es el piso, ya que f(x)>g(x)f(x) > g(x) para cualquier xx que elijas en el intervalo (0,1)(0, 1).

De hecho, esto coincide con lo que nos dice el enunciado: x2yxx^{2} \leq y \leq x 
3) Planteamos la integral del área A(x)=01(f(x)g(x))dx=01(xx2)dxA(x) = \int_{0}^{1} (f(x) - g(x)) \,dx = \int_{0}^{1} (x - x^2) \,dx 4) Calculamos la integral: 01(xx2)dx=x22x3301=1213=16\int_{0}^{1} (x - x^2) \,dx = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} Por lo tanto, el área encerrada es 16\frac{1}{6}
Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.